Số chính phương là gì? Đặc điểm và một số bài toán ví dụ

Số chính phương là gì?

Số chính phương hay còn được gọi là số hình vuông. Đây là số tự nhiên có căn bậc hai là một số tự nhiên, nói cách khác thì số chính phương bằng bình phương (lũy thừa bậc 2) của một số tự nhiên. Số chính phương còn được gọi là số hình vuông, bởi số chính phương là bình phương của một số tự nhiên mà diện tích hình vuông là hai cạnh nhân nhau (bình phương của một cạnh). 

Với các số nguyên thì ta sẽ có: số nguyên dương, nguyên âm và số 0. 

Ví dụ: 9 (3² ); 16 (4²); 36 (6²)đây chính là số chính phương. 

Số chính phương được chia ra làm hai loại đó là chẵn và lẻ. Một số chính phương sẽ được gọi là số chính phương chẵn khi nó là bình phương của một số chẵn và ngược lại. Một số chính phương được gọi là số chính phương lẻ khi nó là bình phương của một số lẻ. 

Có nhiều bạn thắc mắc số 1 có phải là số chính phương hay không và số chính phương nhỏ nhất là số nào? Tận cùng của số chính phương thường kết thúc bằng 0, 1, 4, 5, 6, 9 và không thể là các số 2, 3, 7, 8. Do vậy mà số 1 là số chính phương và số chính phương nhỏ nhất là số 0. 

Đặc điểm của số chính phương

Để hiểu rõ hơn về số chính phương thì bạn đọc hãy tham khảo các tính chất dưới đây:

• Khi phân tích một số chính phương ra thừa số nguyên tố thì ta sẽ được các thừa số là lũy thừa của số nguyên tố với số mũ chẵn.
• Số chính phương chỉ có thể có 1 trong 2 dạng đó là: 4n hoặc 4n + 1 và không có số chính phương nào có dạng là 4n + 2 hoặc 4n + 3 (với n € N).
• Số chính phương chỉ có thể có 1 trong 2 dạng đó là: 3n hoặc 3n + 1 và không có số chính phương nào có dạng là 3n + 2 (với n € N).
• Số chính phương có chữ số tận cùng là 1 hoặc 9 thì chữ số hàng chục sẽ là chữ số chẵn.
• Số chính phương có tận cùng bằng 5 thì chữ số hàng chục sẽ là 2.

• Số chính phương có tận cùng bằng 4 thì chữ số hàng chục sẽ là chữ số chẵn.
• Số chính phương có tận cùng bằng 6 thì chữ số hàng chục sẽ là chữ số lẻ.
• Số chính phương chia cho 3 sẽ không bao giờ có số dư là 2; chia cho 4 không bao giờ dư 2 hoặc dư 3; số chính phương lẻ khi chia 8 thì luôn dư 1

Ví dụ: 81:8 = 10 dư 1.

• Số ước nguyên dương của số chính phương chính là một số lẻ.
• Số chính phương chia hết cho số nguyên tố p thì cũng sẽ chia hết cho p2.

Ví dụ: Số chính phương của 36 bằng 6² chia hết cho 2 

=> 36 chia hết cho 4 (2²).

• Tất cả các số chính phương đều có thể viết thành dãy tổng của các số lẻ tăng dần từ 1: 1; 1 + 3; 1 + 3 + 5; 1 + 3 + 5 + 7; 1 + 3 + 5 + 7 + 9;…v.v 

Công thức được dùng để tính hiệu của hai số chính phương là:

a² – b² = (a – b)(a + b).

Ví dụ: 6² – 3² = (6 + 3)(6 – 3) = 9.3 = 27.

Một vài ví dụ về số chính phương

Dựa trên khái niệm, đặc điểm và tính chất của số chính phương ta có một số ví dụ về số chính phương như sau:

• 4 là một số chính phương chẵn, vì 4 = 2² 
• 9 là một số chính phương lẻ, bởi 9 = 3²
• 16 là một số chính phương chẵn, bởi vì 16 = 4²
• 25 là một số chính phương lẻ, vì 25 = 5²
• 36 là một số chính phương chẵn, vì 36 = 6²
• 225 là một số chính phương lẻ, vì 225 = 15²
• 289 là một số chính phương lẻ, vì 289 = 17² 
• 576 là một số chính phương chẵn, vì 576 = 24²
• 1.000.000 là một số chính phương chẵn, vì 1.000.000= 1.000²

Một số bài tập ví dụ

Câu 1: Hãy chứng minh 1234567890 không phải là số chính phương.

Giải:

Ta có số 1234567890 chia hết cho 5 vì tận cùng là số 0 nhưng nó lại không chia hết cho 25. Bởi hai số tận cùng là 90.

Vậy nên số 1234567890 không phải là số chính phương.

Câu 2: Chứng minh một số là số chính phương:

Chứng minh: Với mọi số tự nhiên n thì an = n(n + 1) (n + 2) (n + 3) + 1 là số chính phương.

Giải:

Ta có: a_n = n(n+1)(n+2)(n+3) + 1

= (n² + 3n)(n² + 3n + 2) +1

= (n² + 3n)² + 2(n² + 3n) + 1

= (n² + 3n + 1)²

Với n là một số tự nhiên thì (n²+ 3n + 1)² cũng sẽ là một số tự nhiên. Vậy nên an là một số chính phương.

Câu 3: Chứng minh số dưới đây không phải số chính phương

n = 2004²+ 2003²+ 2002² – 2001²

Giải:

Theo như đề tài thì ta có tận cùng của các số lần lượt là 6, 9, 4, 1. Do đó, số tự nhiên n có chữ số tận cùng là 8 nên n không phải là số chính phương.

Như vậy bài viết trên đây đã vừa chia sẻ cho bạn đọc các kiến thức về số chính phương cũng như trả lời cho câu hỏi: “Số chính phương là gì?”. Hy vọng những thông tin chia sẻ trên đây sẽ cung cấp thêm cho bạn một số kiến thức phục vụ cho quá trình học tập của mình.