Định lý Vi-et – các dạng bài ứng dụng định lý Vi-et quan trọng

Định lý Vi-et là kiến thức rất quan trọng mà học sinh được làm quen từ chương trình toán lớp 9. Các bài toán Vi-et liên quan sẽ còn trở đi trở lại trong các bài học khác, xuyên suốt quá trình học toán phổ thông. Hôm nay, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu cụ thể về chủ đề hệ thức Vi-et: các khái niệm, dạng bài, ứng dụng cụ thể ra sao!

Các khái niệm quan trọng liên quan đến định lý Vi-et

Là một chủ đề toán học quan trọng, có tính ứng dụng cao, định lý vi-et lớp 9 còn được ứng dụng trong các bài toán phổ thông lên cấp 3 (THPT). Vì thế, học sinh cần nắm vững kiến thức về nó, các nội dung sau đây sẽ giúp ích đắc lực:

Nội dung hệ thức Vi-ét và các bài tập quan trọng
Nội dung hệ thức Vi-ét và các bài tập quan trọng

Định lý Vi-et là gì?

Định lý Vi-et hay hệ thức Vi-et thể hiện mối quan hệ giữa các nghiệm của phương trình (PT) trong đa thức trường số phức và các hệ số. Chúng được tìm ra bởi nhà toán học Pháp François Viète, định lý Viète được lấy theo tên của ông, và Vi-et là tên phiên âm theo tiếng Việt.

Định lý Vi-et thuận

Nếu cho phương trình bậc 2 một ẩn: Ax2+bx+c=0 (trong đó a≠0) (*) có 2 nghiệm x1x2. Khi đó 2 nghiệm tìm được thỏa mãn hệ thức sau đây:

Hệ thức Vi-ét thuận
Hệ thức Vi-ét thuận

Hệ quả: Căn cứ vào định lý Vi-ét khi phương trình bậc hai một ẩn có nghiệm, ta hoàn toàn có thể nhẩm nghiệm trực tiếp của PT trong một số trường hợp đặc biệt:

  • Trường hợp 1: a + b + c = 0 thì (*) có 1 nghiệm x1 =1 và x2 = a/c
  • Trường hợp 2: a – b + c = 0 thì (*) có nghiệm x1 = -1 và x2 = – c/a

Định lý Vi-et đảo

Giả sử cho hai số thực x1x2 thỏa mãn hệ thức sau đây:

Hệ thức Vi-ét đảo
Hệ thức Vi-ét đảo

Vậy thì x1x2 là 2 nghiệm của phương trình bậc 2: x2-Sx+P=0 (1).

Lưu ý: S2 – 4P ≥ 0 (điều kiện bắt buộc)

Tìm hiểu về định lý Vi-et bậc 2, bậc 3, bậc n

Hệ thức Vi-ét bậc 2

Gọi nghiệm của phương trình bậc 2 lần lượt là x1x2, công thức Vi-ét thể hiện theo phương trình như sau:

PT: (ax^2 + bx + c = 0 (trong đó a # 0) thì ta có:  x1 + x2 = S = -b/a và x1.x2 = P = c/a

Hệ thức Vi-ét bậc 3

Gọi nghiệm của phương trình bậc 3 lần lượt là x1, x2x3, công thức Vi-ét thể hiện theo phương trình như sau:

PT: ax^3 + bx^2 + cx + d  = 0 (x1, x2 và x3 là 3 nghiệm phân biệt), ta có:

  • x1 + x2 + x3 = -b/a
  • x1 x2 + x1 x3 + x1 x3 = c/a
  • x1 x2 x3 = c/a

Hệ thức Vi-ét bậc 4

Nếu phương trình bậc bốn: a(x2)2+bx3+cx2+dx+e=0 (a≠0) có 4 nghiệm x1, x2, x3x4, thì:

  • x1 + x2 + x3 + x4 = -b/a
  • x1 x2 + x1 x3 + x1 x4 + x2 x3 + x2 x4 + x3 x4 = c/a
  • x1 x2 x3 + x1 x2 x4 + x1 x3 x4 + x2 x3 x4 = – d/a
  • x1 x2 x3 x4 = e/a

Trong đó:

  • x1, x2, x3x4 lần lượt là nghiệm của phương trình bậc 4
  • a, b, c, d, e là các số đã biết sao cho a khác 0. a, b, c, d, e là những hệ số của phương trình đã cho và ta có thể phân biệt bằng cách gọi tương ứng với hệ số của x.
  • a: hệ số bậc 4
  • b: hệ số bậc 3
  • c: hệ số bậc 2
  • d: hệ số bậc 1
  • e: hằng số (số hạng tự do)

Định lý Vi-ét tổng quát

Ta có hệ thức Vi-ét tổng quát được thể hiện như sau:

Hệ thức Vi-ét dạng tổng quát
Hệ thức Vi-ét dạng tổng quát

Ngược lại nếu có các số x1, x2 đến xn thỏa mãn hệ (I) trên thì chúng là nghiệm của phương trình (1) đã cho.

Ứng dụng định lý Vi-ét trong giải toán

Trong chương trình toán học cơ bản, ta chủ yếu tiếp xúc các bài tập về Định lý Vi-et bậc 2. Hệ thức Vi-et bậc 3 và 4 chủ yếu gặp qua các bài toán nâng cao, thi Olympic.

Để tìm hiểu cụ thể hơn các dạng bài toán định lý Vi – et quan trọng, bạn đọc có thể tham khảo các loại bài toán cụ thể sau đây:

Loại 1: Dựa vào định lý Vi-et để nhẩm nghiệm

Khi gặp các bài toán giải nghiệm PT bậc 2, ta thường dùng cách tính Δ để suy ra nghiệm. Tuy nhiên, áp dụng định lý Vi-et để nhẩm nghiệm sẽ cho kết quả nhanh hơn, hạn chế sai sót trong tính toán. Tuy không phải một dạng bài lớn nhưng nó lại rất quan trọng trong việc đẩy nhanh tốc độ xử lý bài toán, học sinh nên áp dụng:

Dựa vào định lý Vi - ét để nhẩm nghiệm
Dựa vào định lý Vi – ét để nhẩm nghiệm

Loại 2: Tính giá trị biểu thức giữa các nghiệm

Xét phương trình ax2 + bx + c = 0 (trong đó a ≠ 0) có hai nghiệm x1, x2. Khi đó ta có thể biểu thị các biểu thức đối xứng giữa các nghiệm theo S = x1 + x2 và P = x1.x2.

Tính giá trị của biểu thức giữa các nghiệm theo hệ thức Vi-ét
Tính giá trị của biểu thức giữa các nghiệm theo hệ thức Vi-ét

Loại 3: Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng

Bài toán này căn cứ vào hệ thức Vi-ét đảo, cụ thể như sau:

Bài tập về định lý Vi-ét lớp 9
Bài tập về định lý Vi-ét lớp 9

Loại 4: Phân tích tam thức bậc hai thành nhân tử

Phương pháp giải bài toán phân tích tam thức bậc hai thành nhân tử
Phương pháp giải bài toán phân tích tam thức bậc hai thành nhân tử

Ví dụ: Phân tích biểu thức sau: 3x2  + 5x – 8 thành nhân tử

Giải:

Xét biểu thức: 3x2 + 5x – 8 = 0 (1)

Ta có: a + b + c = 3 + 5 – 8 = 0

=> (1) có 2 nghiệm là x1 = 1 và x1 = c/a = – 8/3

Khi này tam thức 3x2 + 5x – 8 = (x – 1)(x + 8/3)

Loại 5: Áp dụng định lý Viet để tính giá trị biểu thức đối xứng

Phương pháp: f (x1, x2) = f (x2, x1)

Biểu thức đối xứng với x1, x2 khi ta đổi chỗ x1, x2cho nhau thì giá trị biểu thức này vẫn không thay đổi:

– Nếu f là một biểu thức đối xứng thì nó luôn tồn tại cách biểu diễn qua biểu thức đối xứng S = x1 + x2, P = x2.x2

– Một số biểu diễn quen thuộc thường gặp:

  • x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2 = S2 – 2P
  • x13 + x23 = (x1 + x2)3 – 3x1x2(x1 + x2) = S3 – 3SP
  • x14 + x24 = (x12 + x22)2 – 2x12x22 = (S2 – 2P2) – 2P2
  • 1/x1 + 1/x2 = (x1 + x2)/x1x2 = S/P
  • 1/x12 + 1/x22 = (x12 + x22)/x12x22 = (S2 – 2P)/P2 

– Căn cứ hệ thức Vi-et, ta hoàn toàn tính được giá trị biểu thức cần tìm.

Loại 6: Áp dụng định lý Vi-ét giải các bài toán tham số

Liên quan đến các bài toán tham số, học sinh bắt buộc phải xét các trường hợp tồn tại nghiệm. Sau đó, áp dụng các hệ thức Vi-et cho phương trình bậc 2 (có thể bậc cao hơn với các bài nâng cao). Từ đó suy ra hệ thức nghiệm x1,x2 (xn) theo tham số. Kết hợp với một số dữ kiện cho ban đầu, sẽ tìm được đáp án.

Ví dụ: Cho phương trình mx2-2 (3 – m)x + m – 4=0 (I) (với m là tham số).

Tìm m sao cho:

1/ Phương trình (I) có đúng 1 nghiệm

2/ Phương trình (I) có 2 nghiệm phân biệt trái dấu

Cách làm:

Bài toán tham số sử dụng Vi-ét
Bài toán tham số sử dụng Vi-ét

Đặc biệt, do ở hệ số a có chứa tham số m nên ta cần xét 2 trường hợp của m:

– Trường hợp 1: a = 0 ⇔ m = 0

Khi đó (I) ⇔ – 6x – 4 =0 ⇔ x = -⅔

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = -⅔

– Trường hợp 2: a ≠ 0 ⇔ m ≠ 0

Lúc này, điều kiện là:

Xét trường hợp của m nếu hệ số a trong phương trình chứa tham số
Xét trường hợp của m nếu hệ số a trong phương trình chứa tham số

Loại 7: Tìm điều kiện của m để PT bậc 2 có nghiệm x = x1 cho trước

Đối với các bài tập tìm điều kiện của tham số để phương trình (1) có được nghiệm như cho trước, ta có thể làm theo hai phương pháp sau:

Cách 1:

  • B1: Xác định điều kiện cho phương trình đã cho có nghiệm Δ ≥ 0 (Δ ≥ 0 ) (I)
  • B2: Thay x = x1 vào phương trình tham số (1)
  • B3: Đối chiếu với giá trị vừa tìm được với điều kiện (*) để đưa ra kết luận

Cách 2:

  • B1: Thay x = x1 vào phương trình (1) đã cho để tìm giá trị của tham số (m = m1).
  • B2: Thay giá trị của tham số m1 (hằng số vừa tìm được) vào phương trình và giải nghiệm.
  • B3: Nếu phương trình đã thay tham số m1 có Δ < 0, suy ra không có giá trị nào của tham số để phương trình có nghiệm x1 cho trước.

Tìm nghiệm thứ 2:

  • Cách 1: Thay giá trị của tham số m = m1 vào phương trình rồi giải phương trình như bình thường.
  • Cách 2: Thay giá trị của tham số m = m1 vào công thức tổng của 2 nghiệm để tìm ra nghiệm thứ hai.
  • Cách 3: Thay giá trị của tham số m = m1 vào công thức tích hai nghiệm để tìm nghiệm thứ hai.

Ví dụ: Tìm k sao cho:

a/ PT: 2x2 + kx – 10 = 0 có một nghiệm x = 2, tìm nghiệm còn lại

b/ PT: (k – 5)x2 – (k – 2)x + 2k = 0 có một nghiệm x = – 2, tìm nghiệm còn lại

c/ PT:  kx2 – kx – 72 có một nghiệm x = – 3, tìm nghiệm còn lại

Giải:

Tìm điều kiện tham số thỏa mãn yêu cầu về nghiệm bằng số cho trước
Tìm điều kiện tham số thỏa mãn yêu cầu về nghiệm bằng số cho trước

Loại 8: Xác định tham số để các nghiệm PT bậc 2 thỏa mãn điều kiện cho trước

Thông thường, các “điều kiện cho trước” của dạng bài này là các đẳng thức hoặc để các nghiệm đạt giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN)…

Tìm m để phương trình bậc hai thỏa mãn điều kiện về nghiệm bằng hệ thức cho trước
Tìm m để phương trình bậc hai thỏa mãn điều kiện về nghiệm bằng hệ thức cho trước

Lưu ý: Sau khi xác định được tham số m, không được quên đối chiếu với điều kiện để phương trình ban đầu có nghiệm.

Ví dụ:

Cho PT: x2 – 6x + m = 0. Tính giá trị của m sao cho trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện: x1x2 = 4

Giải ví dụ bài tập Vi-ét dạng 8
Giải ví dụ bài tập Vi-ét dạng 8

Loại 9: Xét dấu các nghiệm của phương trình bậc 2 (cùng dấu / trái dấu)

Áp dụng định lý Viet ta có thể xét dấu các nghiệm của PT bậc 2: ax2 + bx + c=0 (với a ≠ 0) như sau:

Phương pháp & ví dụ giải bài toán xét dấu các nghiệm phương trình
Phương pháp & ví dụ giải bài toán xét dấu các nghiệm phương trình

Loại 10: Ứng dụng định lý Vi-et trong giải phương trình, hệ phương trình

Ví dụ bài toán ứng dụng định lý Vi-ét để giải phương trình, hệ phương trình
Ví dụ bài toán ứng dụng định lý Vi-ét để giải phương trình, hệ phương trình

Loại 11: Các bài tập định lý Vi-ét nâng cao

– Tính các biểu thức lượng giác:

Ví dụ nâng cao
Ví dụ nâng cao

– Ứng dụng chứng minh bất đẳng thức:

Ứng dụng Vi-ét trong chứng minh bất đẳng thức
Ứng dụng Vi-ét trong chứng minh bất đẳng thức

Trên đây là tổng quan khái niệm về hệ thức Vi-ét, giới thiệu 11 dạng bài ứng dụng định lý Vi-et trong giải toán. Mong rằng các nội dung trên đây sẽ là cẩm nang kiến thức hữu ích, giúp các sĩ tử giải quyết bài tập nhanh chóng, giành điểm cao! Đừng quên ghé thăm Thợ sửa xe mỗi ngày để cập nhật nhiều chủ đề học tập, cách giải toán hay và hữu ích khác!

Xem thêm:

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *