Lý thuyết định lý Pytago thuận và đảo, hướng dẫn giải bài tập

Định lý Pytago xuất hiện trong chương trình toán lớp 7, là một nội dung quan trọng để giải quyết nhiều bài toán hình học về sau. Sau đây là tổng quát kiến thức về định lý Pythagoras, đầy đủ lý thuyết và phân dạng bài tập, mời tìm hiểu!

Định lý Pytago là gì?

Định lý Pytago (Pythagoras) nói về mối liên hệ căn bản trong hình học Euclid giữa ba cạnh của một tam giác vuông. Cụ thể, nội dung định lý như sau: “Trong một tam giác vuông bất kỳ, bình phương cạnh huyền (cạnh đối diện với góc vuông) bằng tổng bình phương của hai cạnh còn lại”. Phát biểu này còn được gọi là định lý Pytago thuận (để phân biệt với định lý Pytago đảo).

Nội dung định lý Pytago
Nội dung định lý Pytago

Công thức Pytago:

c2 = a2 + b2

Trong đó: c là độ dài cạnh huyền, a và b là độ dài hai cạnh góc vuông (các cạnh kề).

Ví dụ: Cho tam giác ABC vuông tại A, độ dài cạnh AB= 6cm, AC= 8cm. Tìm BC.

Giải:

Áp dụng định lý Pytago, ta có: BC2 = AB2 + AC2 

Suy ra: BC2 = 62 + 82 = 36 + 64 = 100

Vậy BC = 10 (căn bậc hai của 100).

Chứng minh định lý Pitago thuận

Có rất nhiều cách chứng minh phát biểu của Pytago là đúng. Tuy nhiên, phương pháp chứng minh bằng tam giác đồng dạng là cách làm dễ hiểu và được nhiều giáo viên bộ môn ứng dụng cho học sinh nhất.

Phương pháp này căn cứ vào sự tỉ lệ thuận của các cạnh của hai tam giác đồng dạng. Cụ thể hơn, “nó dựa trên tỉ số của 2 cạnh tương ứng của hai tam giác đồng dạng là như nhau với kích thước của tam giác là bất kỳ”.

Giả thuyết

Giả sử cho tam giác ABC là tam giác vuông tại C. Đường cao từ C, gọi là CH (H nằm trên AB). Điểm H chia chiều dài cạnh huyền AB thành 2 đoạn AH và BH.

Chứng minh định lý Pytago
Chứng minh định lý Pytago

Chứng minh:

Ta có: CH vuông góc với AB (tính chất đường cao) nên CH cũng vuông góc với AH và BH. Vậy thì tam giác AHC (1) và BHC (2) vuông tại H. 

Suy ra: Tam giác ACH (1) đồng dạng với tam ABC (theo tính chất góc – góc vì đều có góc vuông và chung góc A).

Từ đó ta có góc thứ 3 còn lại của hai tam giác cũng bằng nhau (ký hiệu θ như trong hình).

Chứng minh tương tự, có tam giác CBH đồng dạng với tam giác ABC.

Từ các chứng minh trên, ta có các tỷ số đồng dạng sau (*):

Tỉ số thứ nhất bằng cosin của góc θ, tỉ số thứ hai bằng sin của góc này

(*) tương đương: BC2 = AB x BH và  AC2 = AB x AH

Cộng hai vế của hai đẳng thức, ta được:

BC2 + AC2 = AB x BH + AB x AH = AB (BH + AH) = AB + AB = AB2 

Kết luận: BC2 + AC2 = AB2 

Vậy, trong một tam giác vuông bất kỳ, bình phương cạnh huyền luôn bằng tổng bình phương của hai cạnh góc vuông.

Định lý Pytago đảo

Lý thuyết định lý Pytago đảo

Nội dung phát biểu định lý Pytago đảo như sau: “Nếu một tam giác có bình phương của một cạnh bằng tổng các bình phương của hai cạnh kia thì tam giác đó là một tam giác vuông.”

Một số cách phát biểu khác tương tự:

– “Cho ba số thực dương bất kỳ a, b, và c sao cho a2 + b2 = c2, luôn tồn tại một tam giác với ba cạnh tương ứng a, b và c sao cho trong tam giác đó có một góc vuông giữa hai cạnh a và b”.

– “Cho một tam giác bất kỳ có ba cạnh là a, b, c, nếu a2 + b2 = c2, thì góc giữa a và b là góc vuông (bằng 90°)”.

Chứng minh định lý Pitago đảo

Chứng minh định lý Pytago đảo
Chứng minh định lý Pytago đảo

Chứng minh định lý Pitago đảo bằng định lý Pytago thuận một cách dễ dàng:

Ví dụ: Cho tam giác ABC bất kỳ, trong đó độ dài ba cạnh lần lượt là a,b,c và có a2 + b2 = c2. Chứng minh tam giác ABC vuông.

Giải:

Xét một tam giác vuông A’BC có hai cạnh bằng a, b và cạnh huyền c’. Theo định lý Pytago thuận ta có: c’2 = a2 + b2 (1)

Lại có: a2 + b2 = c2 (đề bài cho) (2)

Từ (1) và (2) suy ra c’2 = c2 hay c’ = c

Vậy tam giác ABC bằng tam giác vuông A’BC. Kết luận: ABC là tam giác vuông (điều phải chứng minh).

Hệ quả của định lý Pytago đảo

Cho một tam giác ABC bất kỳ có độ dài ba cạnh lần lượt là AB = a, AB = b, BC = c và a + b > c. Luôn xảy ra 1 trong 3 trường hợp sau:

  • Nếu a2 + b2 = c2, khi đó tam giác ABC là tam giác vuông tại A, với cạnh huyền BC.
  • Nếu a2 + b2 > c2, suy ra ABC là tam giác nhọn.
  • Nếu a2 + b2 < c2, suy ra ABC là tam giác tù.
Hệ quả của Pytago đảo giúp xác định tam giác là nhọn, vuông hay tù
Hệ quả của Pytago đảo giúp xác định tam giác là nhọn, vuông hay tù

Lưu ý khi giải bài tập về Pytago

Một số lưu ý sau sẽ giúp các bạn tránh khỏi sai sót trong quá trình giải bài tập sử dụng Pytago:

1/ Cạnh huyền trong tam giác vuông:

  • Luôn luôn là cạnh dài nhất
  • Không đi qua góc vuông ( nằm đối diện với góc vuông)
  • Độ dài cạnh huyền được ký hiệu bởi “c”

2/ Luôn luôn kiểm tra lại kết quả (tìm ra số đo 1 cạnh, thay lại với công thức Pytago xem kết quả có khớp không).

3/ Cạnh dài nhất sẽ đối diện với góc lớn nhất, cũng như cạnh ngắn nhất sẽ đối diện với góc nhỏ nhất.

4/ Trong tam giác vuông, chỉ xác định được độ dài cạnh thứ 3 khi biết được hai cạnh còn lại.

5/ Hãy chắc chắn hình vẽ đúng với các dữ liệu đề bài và cách ký hiệu độ dài sử dụng (chẳng hạn như a, b, c) tương ứng các cạnh.

6/ Nếu bài toán chỉ có 1 cạnh, ta không thể sử dụng định lý Pytago, thay vào đó hãy dùng các hàm lượng giác (sin, cos, tan) hay tỉ lệ 30 – 60 – 90 / 45 – 45 – 90.

Trên đây là toàn bộ nội dung định lý Pytago thuận và đảo, cách chứng minh cụ thể. Mong rằng qua bài viết, các bạn có thể nắm vững chủ đề toán học này, xử lý tốt các bài toán liên quan!

Xem thêm:

One Comment on “Lý thuyết định lý Pytago thuận và đảo, hướng dẫn giải bài tập”

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *