Bất đẳng thức Cosi và cách sử dụng

Bất đẳng thức Cosi là một trong những bất đẳng thức cơ bản được ứng dụng nhiều nhất trong lĩnh vực đại số. Học sinh Việt Nam đều đã được tiếp xúc với bất đẳng thức này trong chương trình Đại số bậc Trung học cơ sở. Bài viết dưới đây của chúng tôi sẽ giới thiệu tới bạn bản chất của bất đẳng thức nổi tiếng này cũng như cách ứng dụng nó một cách hiệu quả.

Bất đẳng thức Cosi là gì?

Bất đẳng thức Cosi (Bất đẳng thức Cauchy) là một trong những bất đẳng thức cổ điển nhất và được sử dụng rất nhiều trong chứng minh đại số. Trên thực tế bất đẳng thức này được gọi bằng rất nhiều cái tên khác nhau như Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz hay bất đẳng thức Bunyakovsky,…

Bất đẳng thức Cosi là gì?
Bất đẳng thức Cosi là gì?

Nhiều tên gọi đa dạng này xuất phát từ việc bất đẳng thức được chứng minh bởi nhiều nhà toán học khác nhau như Augustin Louis Cauchy, Viktor Yakovlevich Bunyakovsky, Hermann Amandus Schwarz,… Tuy nhiên tên gọi Bất đẳng thức Cosi phổ biến hơn do cách chứng minh quy nạp của Cauchy là phương pháp hiệu quả nhất chứ ông không phải là người đầu tiên tìm ra bất đẳng thức này.

Tuy nhiên cái tên chính xác được quốc tế công nhận của bất đẳng thức này là Bất đẳng thức AM-GM. Cái tên Bất đẳng thức AM-GM thể hiện rõ nhất bản chất của bất đẳng thức này, chính là so sánh giữa trung bình cộng và trung bình nhân của n số thực không âm.

Tổng quan về bất đẳng thức Cosi

Bất đẳng thức Cosi có thể được phát biểu một cách khái quát như sau:

Trung bình cộng của n số thực không âm luôn lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng. Trường hợp trung bình cộng và trung bình nhân của chúng chỉ bằng nhau khi n bằng nhau.

Chân dung nhà toán học Augustin Louis Cauchy
Chân dung nhà toán học Augustin Louis Cauchy

Phát biểu này có thể được trình bày như sau:

Với 2 số thực a và b (a, b > 0, R), ta có:

a + b2ab

Dấu “=” xảy ra a=b

Bất đẳng thức này cũng áp dụng với n số thực dương:

x1 + x2 + … + xnnnx1.x2…..xn (n>1, N)

Dấu “=” xảy ra x1=x2=…=xn

Một số dạng triển khai khác của bất đẳng thức Cosi

Ngoài hai bất đẳng thức đã được trình bày ở trên, bạn còn có thể ứng dụng một số dạng khác của Bất đẳng thức Cosi dưới đây:

  1. x1 + x2 + … + xnn.nx1.x2…..xn (n>1, N)
  2. (x1 + x2 + … + xnn)nx1.x2…..xn(n>1, N)
  3. 1×1 + 1×2 + … + 1xnn2x1 + x2 + … + xn(n>1, N)
  4. (x1 + x2 + … + xn).(1×1 + 1×2 + … + 1xn)n2 (n>1, N)

Dấu “=” xảy ra x1=x2=…=xn

Các dạng triển khai của bất đẳng thức Cosi
Các dạng triển khai của bất đẳng thức Cosi

Các dạng bất đẳng thức Cosi đặc biệt

Các dạng đặc biệt của Bất đẳng thức Cosi này bạn có thể đáp ứng được trong trường hợp n=2 và n=3.

Đối với trường hợp n=2, ta có những dạng sau:

x + y2xy x, y 0

(x + y2)2xyx, y 0

1x+1y4x + y x, y >0

(x+y)(1x+1y)4 x, y >0

Dấu “=” xảy ra x=y

Đối với trường hợp n=3, ta có những dạng sau:

x + y + z3xyz x, y, z 0

(x + y + z2)3xyzx, y, z 0

1x+1y+ 1z9x + y + z x, y, z >0

(x+y+z)(1x+1y+1z)9 x, y, z >0

Dấu “=” xảy ra x=y=z

Ứng dụng của bất đẳng thức Cosi

Hệ quả của bất đẳng thức Cosi

Từ việc chứng minh bất đẳng thức Cosi ta có thể đưa ra một số khẳng định sau và áp dụng được vào chứng minh đại số. Những hệ quả này bao gồm:

  • Tổng của một số thực dương và nghịch đảo của nó sẽ luôn có giá trị tối thiểu bằng 2,

(x+1x)min=2 x>0, R

  • Tích của hai số thực dương có tổng không đổi đạt giá trị lớn nhất khi hai số đó bằng nhau
  • Tổng của hai số thực dương có tích không đổi sẽ đạt giá trị nhỏ nhất khi 2 số đó bằng nhau
Những lưu ý khi sử dụng Bất đẳng thức Cosi trong bài toán chứng minh và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
Những lưu ý khi sử dụng Bất đẳng thức Cosi trong bài toán chứng minh và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

Các hệ quả này thường được ứng dụng trong bài toán chứng minh và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong phần bài toán dành cho học sinh khá giỏi. Một lưu ý khi làm các dạng bài này là bạn cần phải xác định được giá trị của biến bằng bao nhiêu để dấu “=” có thể xảy ra. Từ đó xác định được điểm rơi làm mốc rồi mới áp dụng Bất đẳng thức Cosi cùng những hệ quả của nó để giải bài tập.

Các ứng dụng khác

Ngoài sử dụng trong việc chứng minh đại số, Bất đẳng thức Cosi còn được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau như hình học hay giải phương trình.

Đối với hình học, thông qua bất đẳng thức Cosi, chúng ta chứng minh được trong những hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông sẽ là hình có diện tích lớn nhất. Ngược lại khi xét những hình chữ nhật có cùng diện tích, hình có chu vi nhỏ nhất chính là hình vuông.

Bất đẳng thức Cosi cũng là một phương pháp hiệu quả được các nhà toán học ứng dụng để giải các phương trình vô tình nhanh chóng và hiệu quả hơn. Ngoài ra, bất đẳng thức này còn được sử dụng như một phương pháp để khảo sát công suất cực đại của các thiết bị tiêu thụ năng lượng.

Hy vọng bài viết trên đây của chúng tôi đã giúp bạn hiểu hơn về Bất đẳng thức Cosi cũng như cách ứng dụng của bất đẳng thức hữu dụng này. Nếu bạn muốn đọc thêm những kiến thức tương tự về Toán học và Vật lý, đừng quên thường xuyên truy cập vào website của chúng tôi để cập nhật những bài viết mới nhất nhé!

Xem thêm:

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *